Euclid Division lemma- Finding HCF of two numbers by Euclid division algorithm-10th class- mathematics

Math for class 10

Euclid Division Lemma

For any pair of positive integers a and b (a＞b), there exist a unique pair "q and r" such that

a=bq+r,  0≤ r ＜b

Dividend(a)= Divisor(b) x Quotient(q) + Remainder(r)

This is known as Euclid Division Algorithm

For example:

Two positive integers 24 and 9

    9 ) 24 (2

         18

    ----------

         06

    ----------

∴ 24 = 9 x 2 + 6

One more example:

Two numbers 34 and 6

    6 ) 34 (5

         30

    ----------

         04

    ----------

∴ 34 = 6 x 5 + 4

✶Euclid division algorithm is used to find HCF of two numbers

✶ HCF of two consecutive numbers is 1.

✶ HCF of two consecutive odd numbers is 1.

✶ HCF of two Prime numbers is 1.

✶ HCF of two consecutive Even numbers is 2.

Process to find HCF by Euclid Division Algorithm:

1. Apply Euclid's division algorithm to a and b, to find the values of  q and r

        

            a=bq+r

2. If r = 0, "b"(Divisor) is the HCF of Given a and b

3. If r ≠ 0, Apply Euclid's division algorithm to b and r

4. If r = 0, Divisor(r) is the HCF of Given a and b

5. If r ≠ 0, Apply Euclid's division algorithm to divisor and remainder

6. Continue the process till the remainder is Zero

7. Divisor at last stage, will be the HCF of Given numbers

Ex.1: Finding HCF of 96 and 72

Solution:

Apply division algorithm to 96 and 72

        72 ) 96 (1

               72

          ----------

               24

         ----------

    ∴ 96 = 72 x 1 + 24

Apply division algorithm to 72 and 24

        24 ) 72 (3

               72

          ----------

               00

          ----------

    ∴ 72 = 24 x 3 + 0

Remainder is Zero

So divisor(24) is the HCF

    ∴ HCF of 96 and 72 is 24

Ex.2: Finding HCF of 145 and 30

Solution:

Apply division algorithm to 145 and 30

        30 ) 145 (4

               120

           ----------

               025

          ----------

    ∴ 145 = 30 x 4 + 25

Apply division algorithm to 30 and 25

        25 ) 30 (1

               25

          ----------

               05

          ----------

    ∴ 30 = 25 x 1 + 5

Apply division algorithm to 25 and 5

          5 ) 25 (5

               25

          ----------

               00

          ----------

    ∴ 25 = 5 x 5 + 0

Remainder is Zero

So divisor(5) is the HCF

    ∴ HCF of 145 and 30 is 5

Text Book Question:

Finding HCF of 900 and 270

 

Solution:

Apply division algorithm to 900 and 270

       270) 900 (3

               810

           ----------

               090

          ----------

    ∴ 900 = 270 x 3 + 90

Apply division algorithm to 270 and 90

        90) 270 (3

              270

          ----------

              000

          ----------

    ∴ 270 = 90 x 3 + 0

  Remainder is Zero

So divisor(90) is the HCF

    ∴ HCF of 900 and 270 is 90

Find HCF of following by using Euclid Division Algorithm. 

1. 240 and 100

2. 350 and 250

3. 680 and 500

4. 175 and 120

5. 144 and 108

Proof of irrational number-మాదిరి ప్రశ్న-3. (3 + 2√5) ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించడం-10th class.mathematics-Telugu medium

Math for class 10

3 + 2√5 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించడానికి ముందు క్రింది భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.

ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను p/q రూపంలో వ్రాయవచ్చు.

(p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0)

ఒక పదాన్ని/ఒక గుణకాన్ని స్థానాంతరం చెందించినపుడు

 “+a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “-a” గా మారుతుంది

 “-a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “+a” గా మారుతుంది

 “ x a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “÷ a” గా మారుతుంది

 “÷ a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “x a” గా మారుతుంది

“ x a/b” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “ x b/a” గా మారుతుంది

భిన్నాల సూక్ష్మీకరణ:

ఉదాహరణలు:

1. 2/3 + 5 = (2+ 5 x 3)/3 = (2 +15)/3 = 17/3

2. 7 – 5/4 = (7 x 4 – 5)/4 = (28 – 5)/4 = 23/4

3. 3/5 + 4/7=(3x7+4x5)/5x7 =(21+ 20)/35 =41/35

"√2 ని కరణీయ సంఖ్య అని చూపటం"

మరియు "5√2 + 7√3 ను కరణీయ సంఖ్య" అని చూపటం తెలుసుకోవాలి

-------------------------------------------------------------------

        3 + 2√5 ను కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.

           (దీనిని మనం పరోక్ష పద్ధతి ద్వారా నిరూపిస్తాము)

నిరూపణ:

ప్రతిపాదన: 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం

    అపుడు 3 + 2√5 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

    ∴ 3 + 2√5 = p/q

 (p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0 )

        "+3" ని RHS వైపు వ్రాయగా 

    2√5 = p/q - 3

(3 ని q చే గుణించగా)

    2√5 = (p - 3q)/q   

“ x 2” ని RHS వైపు వ్రాయగా

√5 = [(p - 3q)/q] ÷ 2

√5 = [(p - 3q)/q] x (1/2)

√5 = (p - 3q)/2q

   p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు కావున

“(p - 3q)/2q” ఒక అకరణీయ సంఖ్య

కాని √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య

పై రెండు వాక్యాలు పరస్పరం విరుద్ధాలు

ఈ విరుద్ధతకి కారణం మన ప్రతిపాదన

కావున మన ప్రతిపాదన “3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు” అనటం తప్పు

∴ 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

--------------------------------------------------

క్రింద ఈయబడిన మాదిరి ప్రశ్నలు చేయటం ద్వారా పూర్తి అవగాహన ఏర్పడుతుంది

1. 2 + 5√7 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి

2. 2√3 - 9 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి

3. 7 - 2√5 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి

Model problem-3:Prove that 3√5 +4 is an irrational-10th class mathematics- Proof of irrational

Math for class 10

Before going to learn the proof of 3√5 +4 is irrational, we know the following:

Every rational number can be written in the

form of p/q (Where p, q are integers and q ≠ 0)

        

        (a + b)² = a² + 2ab + b²

        

        (a - b)² = a² - 2ab + b²

Transposing a term/factor from one side to other

Transpose “+a” to LHS/RHS, it changed to “-a”

Transpose “-a” to LHS/RHS, it changed to “+a”

Transpose “ x a” to LHS/RHS, it changed to “÷ a”

Transpose “÷ a” to LHS/RHS, it changed to “ x a”

Transpose “x  a/b” to LHS/RHS, it changed to “x  b/a”

Simplifications of fractions

For Example:

  

 2/3 + 5 = (2+5 x 3)/3 = (2 +15)/3 = 17/3

 

 7 – 5/4 = (7 x 4 – 5)/4 = (28 – 5)/4 = 23/4

 3/5 + 4/7 = (3x7+4x5)/5x7 =(21+ 20)/35=41/35

 And know the  "proof of √2 is an irrational" 

And also read proof of  "5√2 + 7√3 is an irrational number"

--------------------------------------------------------------------------

    Prove that 3√5 + 4 is an irrational.

(We can prove this by contradiction method)

Proof:

Assume that (3√5 + 4) is not an irrational number

So 3√5 + 4  is a rational number

∴ 3√5 + 4 = p/q (p, q are integers and q ≠ 0)

Transpose "+4"  to RHS

3√5 = P/q - 4

3√5 = (p - 4q)/q   ( Multiplied 4 with q)

Transpose " x 3 "  to RHS

√5 =[(p - 4q)/q] ÷ 3

√5 =[(p - 4q)/q] x (1/3)

√5 = (p - 4q)/3q

Since p and q are integers,

“(p - 4q)/3q” is a rational number

But √5 is an irrational number

 This is a contradiction

This contradiction is arisen due to our assumption

So our assumption is wrong

“ (3√5 + 4) is not an irrational” is wrong

Therefore (3√5 + 4) is an irrational

        Hence proved

Solve the following model problems for Practice

1. Prove that 5√3 + 8 is an irrational number

2. Prove that 2 -6√5 is an irrational number

3. Prove that 5 +√7 is an irrational number

4. Prove that 6√7 - 8 is an irrational number

Proof of Irrational number-Model problem-2: 5√2 + 7√3 ను కరణీయ సంఖ్య అని చూపటం-10th class mathematics-Telugu medium

Math for class 10

5√2 + 7√3ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించడానికి ముందు క్రింది భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.

ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను p/q రూపంలో వ్రాయవచ్చు.

(p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0)

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

ఒక పదాన్ని/ఒక గుణకాన్ని స్థానాంతరం చెందించినపుడు

 “+a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “-a” గా మారుతుంది

 “-a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “+a” గా మారుతుంది

 “ x a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “ ÷ a” గా మారుతుంది

 “÷ a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “x a” గా మారుతుంది

 “x a/b” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “x b/a” గా మారుతుంది

భిన్నాల సూక్ష్మీకరణ:

ఉదాహరణలు:

1.  2/3 + 5 = (2+ 5 x 3)/3 = (2 +15)/3 = 17/3

2. 7 – 5/4 = (7 x 4 – 5)/4 = (28 – 5)/4 = 23/4

3. 3/5 + 4/7=(3x7 + 4x5)/5x7 =(21+ 20)/35= 41/35

మరియు "√2 ని కరణీయ సంఖ్య అని చూపటం" తెలుసుకోవాలి

-------------------------------------------------------------------

         5√2 +7√3  కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి

         (దీనిని మనం పరోక్ష పద్ధతి ద్వారా నిరూపిస్తాము)

నిరూపణ:

ప్రతిపాదన: 5√2 + 7√3 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం

అపుడు 5√2 + 7√3 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

∴ 5√2 + 7√3 = p/q

(p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0 )

      " +7√3 " ని RHS వైపు వ్రాయగా 

    5√2 = P/q - 7√3

ఇరువైపులా వర్గం చేయగా

(5√2)² = (P/q – 7√3 )²     

  [(a - b)² = a² - 2ab + b²]

5²(√2)²= (P/q)² – 2 x (p/q) x ((7√3) + (7√3)²

[ఇక్కడ a = p/q  మరియు b = 7√3 ]

25(2) = (P²/q²) – (14√3)(p/q) + 7²(√3)²

50 = (P²/q²) – (14p/q)(√3)+ 49(3)

“– (14p/q)(√3)” ని LHS వైపు వ్రాయగా

50 + (14p/q)(√3)= P²/q² + 147

 “+50” ని RHS వైపు వ్రాయగా

(14p/q)(√3)= P²/q² + 147 - 50

(14p/q)(√3)= P²/q² + 97

      97 ని q² చే గుణించగా

(14p/q)(√3) = (p² + 97q²)/q² 

“(14p/q)” ని RHS వైపు వ్రాయగా

(√3) = (p² + 97q²)/q²  x  (q/14p)

(√3) = (p² + 97q²)/14pq (“q” ని కొట్టి వేయగా)

    p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు కావున

 “(p² + 97q²)/14pq” ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

కాని √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

పై రెండు వాక్యాలు పరస్పరం విరుద్ధాలు

ఈ విరుద్ధతకి కారణం మన ప్రతిపాదన

కావున మన ప్రతిపాదన “5√2 + 7√3 కరణీయ సంఖ్య కాదు” అనటం తప్పు

∴ 5√2 + 7√3 కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

---------------------------------------------------------

క్రింద ఈయబడిన మాదిరి ప్రశ్నలు చేయటం ద్వారా పూర్తి అవగాహన ఏర్పడుతుంది

1. 2√3 + 3√7 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి

2. 2√3 - √5 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి

3. √7 - √5 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి

Model problem-2: Proof of 5√2+7√3 is an irrational number-10th class mathematics- Proof of Irrational number

Math for class 10

Before going to learn the proof of 5√2+7√3 is irrational, we know the following:

Every rational number can be written in the

form of p/q (Where p, q are integers and q ≠ 0)

        

        (a + b)² = a² + 2ab + b²

        

        (a - b)² = a² - 2ab + b²

Transposing a term/factor from one side to other

Transpose “+a” to LHS/RHS, it changed to “-a”

Transpose “-a” to LHS/RHS, it changed to “+a”

Transpose “ x a” to LHS/RHS, it changed to “÷ a”

Transpose “÷ a” to LHS/RHS, it changed to “ x a”

Transpose “x  a/b” to LHS/RHS, it changed to “x  b/a”

Simplifications of fractions

For Example:

  

 2/3 + 5 = (2+5 x 3)/3 = (2 +15)/3 = 17/3

 

 7 – 5/4 = (7 x 4 – 5)/4 = (28 – 5)/4 = 23/4

 3/5 + 4/7 = (3x7+4x5)/5x7 =(21+ 20)/35=41/35

 And see the post of "proof of √2 is an irrational" 

-------------------------------------------------------------------------

    Prove that 5√2 +7√3 is an irrational.

(We can prove this by contradiction method)

Proof:

Assume that 5√2 + 7√3 is not an irrational number

So 5√2 + 7√3  is a rational number

∴ 5√2 + 7√3 = p/q (p, q are integers and q ≠ 0)

Transpose "+7√3" is to RHS

5√2 = P/q - 7√3

Squaring on both sides, we get

(5√2)² = (P/q – 7√3 )²   

 [Apply (a - b)² = a² - 2ab + b²]

5²(√2)²= (P/q)² – 2 x (p/q) x ((7√3) + (7√3)²

      [Here a= p/q and b=7√3 ]

25(2) = (P²/q²) – (14√3)(p/q) + 7²(√3)²

50 = (P²/q²) – (14p/q)(√3)+ 49(3)

Transpose “– (14p/q)(√3)” to LHS

50 + (14p/q)(√3)= P²/q² + 147

Transpose “+50” to RHS

(14p/q)(√3)= P²/q² + 147 - 50

(14p/q)(√3)= P²/q² + 97

    Multiply 97 by q²

(14p/q)(√3) = (p² + 97q²)/q²  

Transpose “ x (14p/q)” to RHS

(√3) = (p² + 97q²)/q²  x (q/14p)

(√3) = (p² + 97q²)/14pq (“q” cancelled)

Since p and q are integers,

“(p² + 97q²)/14pq” is a rational number

But √3 is an irrational number

 This is a contradiction

This contradiction is arisen due to our assumption

So our assumption is wrong

“ 5√2 + 7√3 is not an irrational” is wrong

Therefore 5√2 + 7√3 is an irrational

        Hence proved

Solve the following model problems for Practice

1. Prove that 2√3 + 3√7 is an irrational number

2. Prove that 2√7 - √5 is an irrational number

3. Prove that √5- √2 is an irrational number

Proof of Irrational number-మాదిరి ప్రశ్న-1: √2 కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించటం-10th class mathematics-Telugu medium

Math for class 10

కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించడానికి ముందు క్రింది భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.

ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను మనం  భిన్న రూపంలో వ్రాయవచ్చు. భిన్న రూపం యొక్క కనిష్ట రూపం p ⁄ q  అనుకుంటే p, q లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అవుతాయి. మరియు q ≠ 0 అగును.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు

రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా. “1” అయితే ఆ రెండు సంఖ్యలను “పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు” అంటారు.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలకి “1” తప్ప ఇతర ఉమ్మడి కారణాంకాలు ఉండవు

అనగా పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలకి “1” మాత్రమే ఉమ్మడి కారణాంకం అవుతుంది

సిద్ధాంతం

a ఒక ధన పూర్ణసంఖ్య మరియు p ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయితే “a² ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే, a ను కూడ p నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది”

భాగహార న్యాయం

విభాజ్యం(a) = విభాజకం(b)  x  భాగఫలం(q)  +  శేషం(r)

               a=bq + r

శేషం “0” అయితే   a=bq అవుతుంది

అపుడు “a ను b భాగిస్తుంది” అని అంటాము

ఈ సందర్భంలో:

“a” ను  “b” మరియు “q” ల యొక్క గుణిజం అంటాము

“b” మరియు “q” లను  “a” యొక్క కారణాంకాలు అంటాము

పరోక్ష పద్ధతి

ఈ పద్ధతిని మనం “నిరూపించవలసిన ఫలితానికి వ్యతిరేఖ ప్రతిపాదన” తో ప్రారంభిస్తాం.

కొన్ని సోపానాల తరువాత, గణిత విరుద్ధ భావన ఏర్పడుతుంది.

దీనికి కారణం మనం తీసుకున్న (ఫలితానికి వ్యతిరేఖ) ప్రతిపాదన అని గ్రహించాలి

అందువలన మన ప్రతిపాదన తప్పు అని గుర్తించాలి

అపుడు ఇవ్వబడిన వాక్యం సత్యమని నిరూపిస్తాం

-----------------------------------------------------------------------

  √2 కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.

(దీనిని మనం పరోక్ష పద్ధతి ద్వారా నిరూపిస్తాము)

నిరూపణ:

ప్రతిపాదన:  √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం

అపుడు  √2 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

∴ √2  = p ⁄ q 

(p, q లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0)

ఇరువైపులా వర్గం చేయగా

(√2)² = (p ⁄ q)²

2 = p²/q²

2q² = p²

p² = 2q² (LHS, RHS లను తారుమారు చేయగా)

“p²” ను 2 భాగిస్తుంది

 కావున “p” ని కూడ 2 భాగిస్తుంది……….(i)

అనగా “p”  అనేది 2 యొక్క గుణిజం

 p = 2k (k ఒక పూర్ణాంకం)

p = 2k ను 2q² = p² లో ప్రతిక్షేపించగా

2q² = (2k)²

2q² = 4k²

q² = 2k²

“q ²” ను 2 భాగిస్తుంది

 కావున “q” ని కూడ 2 భాగిస్తుంది ………….(ii)

 (i) మరియు (ii) ల నుండి,

 p మరియు q లను 2 భాగిస్తుంది అని తెలుస్తుంది

అనగా p మరియు q లకి 2 ఒక కారణాంకం అవుతుంది

    కాని p, q లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు

(వీటికి “1” తప్ప ఇతర ఉమ్మడి కారణాంకాలు ఉండవు)

పై రెండు వాక్యాలు పరస్పరం విరుద్ధాలు

ఈ విరుద్ధతకి కారణం మన ప్రతిపాదన

కావున మన ప్రతిపాదన “ √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు ” అనటం తప్పు

∴ √2 కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

క్రింద ఈయబడిన మాదిరి ప్రశ్నలు చేయటం ద్వారా పూర్తి అవగాహన ఏర్పడుతుంది

1. √3 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.

2. √5 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.

3. √7 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.

Model problem-1: Prove that √2 is an irrational number-10th class mathematics-Proof of irrational number

Before going to learn the proof of irrational,

we know the following

Every rational number can be written as a fraction

let the simplest form of a rational number = p/q

Here p and q are co-primes and q≠0  

Co-prime numbers

Two numbers are called “co-prime numbers” If their H.C.F. is “1”

Co-primes have NO common factor other than “1”

Co-primes have only one common factor that is “1”

 

Theorem

a is a positive integer and p is a prime number.

“If a² is divided by p then a is also divided by p”

 

Division algorithm

Dividend(a) = Divisor(b) x Quotient(q)  +  Remainder(r)

                   a=bq + r

If remainder(r) is “0”

               a=bq

    we said that "b divides a"

In this case:

 “a” is the multiple of “b” and “q”

 “b” and “q” are called factors of  “a”

Contradiction Method

In this method, we take an assumption that “opposite to given statement”

After several steps, we get mathematical absurdity

Reason for this absurdity is our assumption

So our assumption is wrong

We conclude that given statement is correct.

-----------------------------------------------------------------------------

Prove that √2  is an irrational.

(We can prove this by contradiction method)

Proof:

Assume that √2 is not an irrational number

So √2   is a rational number

   ∴ √2  = p ⁄ q (Here p, q are co-primes and q≠0)

Squaring on both sides, we get

       (√2  )² = ( p ⁄ q )²

            2 = p²/q²

         2q² = p²

        p²  = 2q² (LHS and RHS are interchanged)

2 divides p² So 2 divides “p”……..…......(i)

That means p is multiple of 2

let take  p = 2k (k is an integer)

Substitute p = 2k in 2q² = p²

        2q² = (2k)²

        2q² = 4k²  

         q² = 2k²  (divided by 2)

    2 divides q², so 2 divides “q”………….(ii)

    From (i) and (ii), we get

     2 divides p and q

That means 2 is a factor of p and q

    But p and q are co-primes

(They have only “1” as common factor)

Above two statements are contradict each other

Because of our assumption

So our assumption “√2 is not an irrational” is wrong

Therefore √2  is an irrational

Hence proved

Practice the following problems

1. Prove that √3  is an irrational

2. Prove that √5  is an irrational

3. Prove that √7  is an irrational

Click the link for "Proof of  5√2+7√3  is an irrational number"

Click the link for "Introduction of Sets"

Click the link for "Euclid division algorithm&HCF"