Proof of Irrational number-మాదిరి ప్రశ్న-1: √2 కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించటం-10th class mathematics-Telugu medium

Math for class 10

కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించడానికి ముందు క్రింది భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.

ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను మనం  భిన్న రూపంలో వ్రాయవచ్చు. భిన్న రూపం యొక్క కనిష్ట రూపం p ⁄ q  అనుకుంటే p, q లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అవుతాయి. మరియు q ≠ 0 అగును.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు

రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా. “1” అయితే ఆ రెండు సంఖ్యలను “పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు” అంటారు.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలకి “1” తప్ప ఇతర ఉమ్మడి కారణాంకాలు ఉండవు

అనగా పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలకి “1” మాత్రమే ఉమ్మడి కారణాంకం అవుతుంది

సిద్ధాంతం

a ఒక ధన పూర్ణసంఖ్య మరియు p ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయితే “a² ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే, a ను కూడ p నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది”

భాగహార న్యాయం

విభాజ్యం(a) = విభాజకం(b)  x  భాగఫలం(q)  +  శేషం(r)

               a=bq + r

శేషం “0” అయితే   a=bq అవుతుంది

అపుడు “a ను b భాగిస్తుంది” అని అంటాము

ఈ సందర్భంలో:

“a” ను  “b” మరియు “q” ల యొక్క గుణిజం అంటాము

“b” మరియు “q” లను  “a” యొక్క కారణాంకాలు అంటాము

పరోక్ష పద్ధతి

ఈ పద్ధతిని మనం “నిరూపించవలసిన ఫలితానికి వ్యతిరేఖ ప్రతిపాదన” తో ప్రారంభిస్తాం.

కొన్ని సోపానాల తరువాత, గణిత విరుద్ధ భావన ఏర్పడుతుంది.

దీనికి కారణం మనం తీసుకున్న (ఫలితానికి వ్యతిరేఖ) ప్రతిపాదన అని గ్రహించాలి

అందువలన మన ప్రతిపాదన తప్పు అని గుర్తించాలి

అపుడు ఇవ్వబడిన వాక్యం సత్యమని నిరూపిస్తాం

-----------------------------------------------------------------------

  √2 కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.

(దీనిని మనం పరోక్ష పద్ధతి ద్వారా నిరూపిస్తాము)

నిరూపణ:

ప్రతిపాదన:  √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం

అపుడు  √2 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

∴ √2  = p ⁄ q 

(p, q లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0)

ఇరువైపులా వర్గం చేయగా

(√2)² = (p ⁄ q)²

2 = p²/q²

2q² = p²

p² = 2q² (LHS, RHS లను తారుమారు చేయగా)

“p²” ను 2 భాగిస్తుంది

 కావున “p” ని కూడ 2 భాగిస్తుంది……….(i)

అనగా “p”  అనేది 2 యొక్క గుణిజం

 p = 2k (k ఒక పూర్ణాంకం)

p = 2k ను 2q² = p² లో ప్రతిక్షేపించగా

2q² = (2k)²

2q² = 4k²

q² = 2k²

“q ²” ను 2 భాగిస్తుంది

 కావున “q” ని కూడ 2 భాగిస్తుంది ………….(ii)

 (i) మరియు (ii) ల నుండి,

 p మరియు q లను 2 భాగిస్తుంది అని తెలుస్తుంది

అనగా p మరియు q లకి 2 ఒక కారణాంకం అవుతుంది

    కాని p, q లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు

(వీటికి “1” తప్ప ఇతర ఉమ్మడి కారణాంకాలు ఉండవు)

పై రెండు వాక్యాలు పరస్పరం విరుద్ధాలు

ఈ విరుద్ధతకి కారణం మన ప్రతిపాదన

కావున మన ప్రతిపాదన “ √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు ” అనటం తప్పు

∴ √2 కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది

క్రింద ఈయబడిన మాదిరి ప్రశ్నలు చేయటం ద్వారా పూర్తి అవగాహన ఏర్పడుతుంది

1. √3 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.

2. √5 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.

3. √7 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.